Haar projection numbers and failure of unconditional convergence in Sobolev spaces

For $1<p<\infty$ we determine the precise range of $L_p$ Sobolev spaces for which the Haar system is an unconditional basis. We also consider the natural extensions to Triebel-Lizorkin spaces and prove upper and lower bounds for norms of projection operators depending on properties of the Haar frequency set

Smolyak's Algorithm, Spars Grid Approximation and Periodic Function Spaces with Dominating Mixed Smoothness

Gegenstand der Arbeit sind periodische Funktionenräume mit dominierend gemischter Glattheit vom Besov-, Triebel-Lizorkin- und Sobolev-Typ. Ausgehend von der Fourier-analytischen Definition werden verschiedene Einbettungen und äquivalente Charakterisierungen bereitgestellt. Dabei spielt insbesondere die Charakterisierung mittels Differenzen eine wichtige Rolle. Im Mittelpunkt der Untersuchungen steht allerdings die Approximation solcher Funktionen durch Abtastoperatoren basierend auf dem Smolyak-Algorithmus. Wir erhalten scharfe Abschätzungen für den Fehler, gemessen in der Lp-Metrik. Daraus gewinnen wir neue obere Schranken für das Problem der optimalen Rekonstruktion solcher Funktionen aus einer endlichen Menge von Funktionswerten